สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

เครื่องหมายของความคล้ายคลึงกันของสองรูปสามเหลี่ยมเป็นลักษณะทางเรขาคณิตที่ช่วยให้เราสามารถสร้างสองรูปสามเหลี่ยมบางอย่างที่มีความคล้ายคลึงกันโดยไม่คำนึงถึงองค์ประกอบทั้งหมด

ทฤษฎีบท 1

เครื่องหมายแรกของความคล้ายคลึงกันของสองรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมมีลักษณะคล้ายกันถ้าอย่างน้อยสองมุมในรูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับสองมุมในรูปสามเหลี่ยมอื่น

หลักฐาน

ถ้าสองรูปสามเหลี่ยมมีให้: ABC และ A1B1C1 โดยที่∠A = ∠A1และ∠B = ∠B1 จากนั้นก็ปรากฏว่า∠Cและ∠C1ก็เท่ากับ ให้เราพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันของ△ ABC และ△ A1B1C1

ถ้าเราเลื่อนไปทางด้านข้างของ VA ส่วน BA2 ซึ่งส่วนจะเท่ากับ A1B1 แล้ววาดเป็นเส้นตรงผ่าน A2 จุดซึ่งขนานกับสายไฟ AC จากนั้นสายนี้จะหยุดที่จุดของกลุ่มบีซีซึ่งจะถูกเรียกว่า C2 ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมและ A2VS2 A1V1S1 คือ: A2B = A1B1 โดยการก่อสร้าง∠V1 = ∠Vบนเงื่อนไขและ∠A2 = ∠A1เป็น∠A = ∠A1บนเงื่อนไขและ∠A2 = ∠Aเป็นมุมที่สอดคล้องกัน ตามบทแทรก 1 ของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน (สายซึ่งขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและปริภูมิอื่น ๆ ทั้งสองข้างของมันตัดรูปสามเหลี่ยมซึ่งเป็นที่คล้ายกันนี้) เรามี: △ ABC ~ △ A2BC2 จึง△ A1B1C1 ~ △เอบีซี ดังนั้นทฤษฎีบทพิสูจน์ ทฤษฎีบทที่ 2 และ 3 จะได้รับการพิสูจน์โดยการเดียวกัน

ทฤษฎีบท 2

เครื่องหมายที่สองของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมจะถือว่าคล้ายกันถ้าสองอันด้านของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งจะเป็นสัดส่วนกับสองด้านของรูปสามเหลี่ยมที่สองตามลำดับ นอกจากนี้ต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขของความเท่าเทียมกันของมุมระหว่างคู่สัญญาเหล่านี้

ทฤษฎีบท 3

เครื่องหมายที่สามของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมถือว่าเป็นแบบเดียวกันหากสังเกตเห็นว่าเงื่อนไขของสัดส่วนของสามด้านของหนึ่งในสามด้านของสองเป็นที่สังเกต

ผลที่ตามมาของทฤษฎีบท 1. ถ้าเราพิจารณารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวด้านที่คล้ายกันของพวกเขาจะเป็นสัดส่วนกับความสูงที่จะถูกละไว้ในด้านที่คล้ายกัน

เครื่องหมายของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉากด้านขวา

1. รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะถือได้ว่าคล้ายคลึงกันถ้า cathetus และด้านตรงข้ามของหนึ่งในนั้นมีสัดส่วนกับขาและด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยมที่สอง
2. รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะถือว่ามีความคล้ายคลึงกันหากมุมเฉียบพลันของมุมใดมุมหนึ่งที่มีค่าเท่ากับมุมเฉียบพลันของรูปสามเหลี่ยมที่สอง

เครื่องหมายของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมในตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อหาความยาวของส่วนที่ KP, ถ้ารู้จัก,ว่าในรูปสามเหลี่ยม ABC, ความยาวของด้าน AC คือสิบและด้าน AB มีจุด K บาง แต่ AK = 2, BK = 3 เส้นตรงผ่านจุด K ซึ่งขนานกับ AC จุด P อยู่บนจุดตัดกับฝั่ง BC นี่คือสถานการณ์เมื่อมีการใช้สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมผืนผ้า บทเรียนที่มีปัญหาคล้ายคลึงกันมักพบในทุกโรงเรียน ดังนั้นถ้ามีเส้นตรงในรูปสามเหลี่ยมลากชิดขนานไปข้างหนึ่งจากนั้นรูปสามเหลี่ยมจะมีรูปคล้ายกับรูปนี้ รูปสามเหลี่ยม CBS มีลักษณะคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม ABC การตรวจสอบนี้เราทราบว่ามุมของ SRS เท่ากับมุมของ BAC ในมุมมองของความจริงที่ว่าเหล่านี้เป็นมุมที่สอดคล้องกันซึ่งอยู่กับ RS แบบคู่ขนานและ AC และ AK อวัยวะสืบพันธุ์ นอกจากนี้มุม B เป็นมุมทั่วไปและมุมที่สามมีค่าเท่ากันมุมของ BPM และ BCA ดังนั้นตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับเกณฑ์แรกสำหรับความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม∠ ABC จะคล้ายกับ∠CR จากนั้นมันก็ชี้ให้เห็นว่า KP / AC ด้านที่อยู่ข้าง∠Bเท่ากับด้าน VK / Va ด้านที่อยู่ในแนวเดียวกันกับ∠Pและ∠C ดังนั้นเราจึงหา BA โดยการเพิ่ม BA และ AK เราแทนที่ข้อมูลเราได้รับ: KR / 10 = 3/5 นั่นคือ KP = 6

ตัวอย่างที่ 2

ปล่อยให้เป็นรูปสามเหลี่ยม ABC และ A1B1C1, ∠B = ∠B1 ฝ่าย AB, BC ในรูปสามเหลี่ยม ABC มีขนาดใหญ่กว่าด้าน A1B1, B1C1 ซึ่งอยู่ในรูปสามเหลี่ยม A1B1C1 2.5 เท่า จำเป็นต้องหา AC และ A1C1 โดยมีค่ารวม 4.2 ม. สารละลาย โดยเงื่อนไขของปัญหาเราเขียน:

1. ∠B = ∠B1;
2. AB / A1B1 = BC / B1C1 = 2.5 ดังนั้น△ ABC ~ △ A1B1C1 โดยเครื่องหมายที่สองของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม
3. AC + A1C1 = 4,2m จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมได้รับผล AC / A1C1 = 2,5 หรือ 2,5xA1S1 หาก AC AC = = 2,5 x A1C1, A1C1 ตัว AC + = 2,5 x A1C1 + A1C1 = 4,2 ดังนั้น AC = 3 (m) A1C1 = 1,2 (เมตร)

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องค้นหาว่ารูปสามเหลี่ยมมีลักษณะคล้ายกันหรือไม่A1B1C1 และ ABC ถ้าซม., BC = 5 ซม., AB = 3, AC = 7 ซม., B1C1 = 7.5 ซม., A1B1 = 4.5 ซม., A1C1 = 10.5 ซม. การแก้ปัญหา BC / B1C1 = 5 / 7.5 = 1 / 1.5 AB / A1B1 = 3 / 4.5 = 1 / 1.5 AC / A1C1 = 7 / 10.5 = 1 / 1.5

ดังนั้นด้วยเครื่องหมายที่สามรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะคล้ายกัน